空间坐标转换

jkbanana · 发表于 2007-5-14 13:26:00

空间坐标转换
编写图形处理程序时，常常要进行坐标转换。坐标转换实际上是坐标矢量的转换。所谓坐标矢量就是把坐标系的原点设为起点，坐标点设为终点的矢量。坐标系有很多种，而我们常常是在直角坐标系中工作，所以在以下的讨论中，坐标系均指直角坐标系。
设有2个直角坐标系，分别命名为UCS和WCS，如下图。以下讨论这2个坐标系间的坐标转换关系。

mjn23mhv0pn.jpg

1. 空间坐标转换的基本方法：
UCS中的坐标x' 和WCS中的坐标x分别设为,
   x'=(x', y', z')T ,  x=(x, y, z)T
UCS中的单位坐标轴矢量ex, ey, ez和原点O' 均由WCS的成分如下表示
ex =(ex1 , ex2 , ex3 ) T , ey =(ey1 , ey2 , ey3 ) T , ez =(ez1 , ez2 , ez3 ) T , O' = u = (x0 , y0 , z0 ) T
其中，WCS为一标准的直角坐标系，即x,y,z轴的单位坐标轴矢量和原点分别是，
(1, 0, 0) T, (0, 1, 0) T, (0, 0, 1) T和 (0, 0, 0) T。
在以下矢量和矩阵的演算中, 均采用指标的形式进行。
1) WCS中的坐标转换成UCS中的坐标
  当把WCS中的坐标转换成UCS中的坐标时，可以通过如下公式进行计算，
x'i = aij (xj - uj) = aij xj - aij uj
在以上的计算中，假定坐标系WCS先平移u，再旋转后变成UCS。
又设平移成分为
   Mi = aij uj
则有,
   x'i = aij xj - Mi
式中，

ozwpkzdfwwd.jpg

为仅有旋转的坐标转换矩阵，即坐标旋转转换矩阵。由上式可以知道，当WCS为一标准的直角坐标系时，UCS的单位坐标轴矢量和坐标旋转转换矩阵a有着等价关系。
2) 坐标转换时，为方便计算常常采用4次元坐标。这时，WCS的坐标和UCS的坐标分别表示为，
x = (x, y, z, 1)T,  x' = (x', y', z', 1)T
此时,坐标转换矩阵定义为H，H的成分如下:

mur3rkkflfu.jpg

利用H，把WCS的坐标转换成UCS的坐标时，如下运算:
x'i = Hij xj
3) UCS中的坐标转换成WCS中的坐标
  这是上述变换的逆运算，即
   xi = a-1ij (x'j - u'i )
整理后,
   xi = aji x'j + ui
在上式的计算中，假定坐标系UCS先平移u'，再旋转后变成WCS。
当用4次元坐标时，坐标转换矩阵定义为H 的逆矩阵H-1如下:

cm4of4nlbro.jpg

利用H-1可由下式把UCS的坐标(x',  y',  z') T转换成WCS(x,  y,  z) T的坐标，
   xi = H-1ij x'j
另外, 在ACAD VBA中, 通过GetUCSMatrix() 方法获得的坐标转换矩阵即为H-1
4) HとH-1 (inverse matrix)的关系
为表示简洁, 设G=H-1
H和G有如下关系:
   (1)  i=1,3 ; j=1,3
          Hij= Gji
   (2)  i=1,3 ( j=4) ; k=1,3
         Hi4= - Gki Gk4
         Gi4= - Hki Hk4
(3)  i=4 ; j=1,4
         Hij= Gij
由以上运算可以看出，坐标转换计算时，求坐标转换矩阵是关键。以下讨论坐标转换矩阵的计算方法。
2. 坐标旋转转换矩阵a的计算方法
在讨论绕不同的坐标轴旋转所对应的坐标旋转转换矩阵时,旋转角度的符号由以下方法确定：当由旋转角按右手法则确定的旋转方向和旋转轴正方向一致时，取正号；相反则取负号。
1)  设仅绕x轴旋转g 角度的坐标旋转转换矩阵为ax, 仅绕y轴旋转b 角度的坐标旋转转换矩阵为ay, 仅绕z轴旋转q 角度的坐标旋转转换矩阵为az, 它们的成分分别如下:

w5j33biadop.jpg

2) 仅有旋转的一般情况：即先绕x1轴旋转q1，再绕旋转后的x2轴旋转q2，...，再绕前面旋转后的xi轴旋转qi，...，最后再绕前面旋转后的xn轴旋转qn的坐标旋转转换矩阵可由以下公式算出:
   aij= anik an-1kl···aipq···a1mj
由此可知道，最后旋转的坐标旋转转换矩阵在最前，最先旋转的坐标旋转转换矩阵在最后，和实际旋转的顺序相反。
例如，先绕z轴旋转q ，再绕旋转后的y轴旋转b，最后再绕经过前面2次旋转后的x轴旋转g 的坐标旋转转换矩阵a
   aij= axik aykl azlj
由于以上是矩阵的运算，所以坐标旋转转换矩阵a与旋转的顺序有关。
3. 同时有旋转和平移的坐标转换矩阵的计算方法
一般的坐标转换，可能同时有旋转和平移的情况，这时把坐标旋转转换矩阵a改为由上述定义的H，其余的和仅有旋转的一般情况一样运算，最后即可求出4次元的坐标转换矩阵H。
由以上的结果，可以得出一般情况的坐标转换。即先进行坐标转换1，
再在第一次转换的基础上进行坐标转换2，...，再在第i-1次转换的基础上进行坐标转换i，...，最后在第n-1次转换的基础上进行坐标转换n的坐标转换矩阵H可由以下公式算出
   Hij= Hnik Hn-1kl···Hipq···H1mj
最后进行的坐标转换矩阵在最前，最先进行的坐标转换矩阵在最后，和实际坐标转换的顺序相反。由于以上的矩阵运算知，坐标转换矩阵H与旋转以及平移的顺序都有关。