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发表于 2007-10-21 18:01:00
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给出一个思路
设2直线的矢量分别为
v1=pt1 - pt2
v2=pt3 - pt4
1. 由v1和v2决定的平面法线
vn = v1 x v2 (外积)
2. 过v1且法线vn的平面方程为
vn(1)(x-pt1(1))+ vn(2)(y-pt1(2))+ vn(3)(z-pt1(3))=0
整理后
vn(1) x + vn(2) y + vn (3) z - ( vn(1) pt1(1)+ vn(2) pt1(2)+ vn(3) pt1(3 ) ) =0
3. v1与v2不相交的话，v2必不在上面的平面内
v2的端点在上面的平面上的投影点分别为
pt3 --> w1
pt4 --> w2
【点在平面上的投影点的求法：
设点P(P1,P2,P3) 在
平面 Ax + By + Cz + D = 0 上的投影点Q(Q1,Q2,Q3)的求法.
设PQ的距离为t , 直线PQ与平面的法线N(A,B,C)平行,所以，
Q=P + t N
即 Q1 = P1 + At
Q2 = P2 + Bt
Q3 = P3 + Ct
由于Q在平面上,所以，
A P1 + A2t + B P2 + B2t + C P3 + C2t + D = 0
整理得
t = - (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A2 + B2 + C2)
因此, 投影点Q的成分为
Q1 = P1 - A (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A2 + B2 + C2)
Q2 = P2 - B (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A2 + B2 + C2)
Q3 = P3 - C (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A2 + B2 + C2)
】
4.结论：
这样就可以求出v1(pt1,pt2)与v2在上面的平面上的投影线(w1,w2)的交点G, 过G点做直线v2的垂足H (求法在本论坛公布过), 则线段GH的长度就是所要求的距离；如果没有交点, 说明v1和v2是平行直线, 则过直线v1上任意一点P, 做v2的垂足Q, 则线段PQ的长度就是所要求的距离.
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